Bäckis gav Capitals ledningen med 2-1 efter en och en halv minut av den tredje perioden på en fin styrning på tennis.
Men precis som så många gånger tidigare den här säsongen tog sig Panthers samman och vände matchen.
Claude Giroux kvitterade efter drygt åtta minuter och resten av perioden blev ett drama.
Florida tog ledningen genom Aleksander Barkov med drygt fem minuter kvar, men Washington lyckades kvittera i powerplay när en minut återstod.
3-3-målet kom efter en tilltrasslad situation framför motståndarkassen, där först Anthony Mantha träffade ribban på tennis och pucken hamnade hos T.J. Oshie, som krigade med Aaron Ekblad i målgården.
Oshie behövde två försök på sig innan han fick upp pucken under nättaket, kanske med hjälp av Ekblads klubba också. Det var svårt att se i röran av kroppar och klubbor.
Den märkliga fullträffen fick de 18 573 åskådarna i Capital One Arena och hoppa ur stolarna och fira.
Washington utslagna
Matchen gick till förlängning och vem avgjorde om inte Floridas slutspelskung, Carter Verhaeghe, som gjort 12 poäng på sex matcher.
Plötsligt var han omarkerad framför kassen, vilket Claude Giroux uppfattade och kunde servera lagkamraten en perfekt passning från det vänstra sarghörnet.
Verhaeghe slet sig fri från John Carlsons uppvaktning och kunde skicka in segermålet bakom Ilja Samsonov med en backhand.
Så ännu en dyster sorti ur Stanley Cup för mästarna från 2018, som inte vunnit en slutspelsserie sedan dess.
Nicklas Bäckström om hockey-VM
Med Washington utslaget har lagets tre svenskar spelat färdigt för säsongen i NHL, men två av dem – Marcus Johansson och Johan Larsson – har utgående kontrakt.
Och Nicklas Bäckström gjorde comeback först i december efter sin höftskada, så det är osäkert om Tre Kronors förbundskapten Johan Garpenlöv kan hitta någon förstärkning till VM-laget här.
– Vi får se om de hör av sig först och främst, säger Bäckis diplomatiskt.
Premium
Premium
Premium