Island fick med sig en historisk poäng från sin första mästerskapsmatch mot Portugal.
I den andra matchen var man bara minuter från en historisk seger.
Island ledde med 1-0 långt in i den andra halvleken, men med två minuter kvar var olyckan framme.
Efter en trängd situation styrde Islands Birkir Már Sævarsson, till vardags i Hammarby, in kvitteringen i eget mål.
Island tappade ledning sent
Island tog ledningen i slutet av den första halvleken genom Gylfi Sigurdsson på straff.
Ungerns målvakt Gabor Kiraly tappade bollen efter en hörna, och till slut hamnade bollen framför Aron Gunnarsson.
Gunnarsson blev i sin tur kroppstacklad av Tomas Kadar, och den ryske domaren Sergei Karasev pekade på straffpunkten.
Där skickade Gylfi Sigurdsson Gabor Kiraly åt höger, bollen till vänster och gav Island ledningen.
Trots ett massivt bollinnehav, framför allt i den andra halvleken, hade Ungern svårt att skapa de riktigt klara målchanserna mot ett kompakt isländskt försvar.
Men i den 88:e matchminuten fick man hjälp på traven av Sævarsson.
– Det blir så när man inte försöker spela själva. Det dyker upp hel- eller halvchanser, och till slut går väl någon in också. Nu var det tyvärr så, säger Lagerbäck till SVT.
Island hade jätteläge att avgöra
Island fick sedan ett jätteläge att avgöra matchen på tilläggstid.
Gylfi Sigurdsson fick ett frisparksläge på gränsen till straffområdet, och frågan är om den isländska spelaren drogs ner innan eller utanför straffområdesgränsen.
Sigurdsson försökte slå bollen under den ungerska muren, som inte hoppade.
Returen rullade ut till veteranen och nationalhjälten Eider Gudjohnsen vars skott sånär letade sig in bakom Kiraly.
Frisparken blev det sista som hände i matchen, som slutade 1-1.
Lars Lagerbäck var kritisk till sina spelares insats efter matchen.
– Jag tar med mig att vi är obesegrade, att vi har en bra chans att gå vidare och att vi jobbade hårt. Men vi spelade inte bra. De spelade helt utan huvud när vi ledde, säger Lagerbäck.
I och med poängen har Ungern spelat ihop fyra poäng på två matcher och är mycket nära att avancera till åttondelsfinal.
